Getalrepresentaties (1)
De vraag die we ons hier stellen is, of elk (positief geheel) getal te
schrijven als een som van verschillende Fibonaccigetallen. (Hier een alternatief bewijs.)
We tonen aan voor elk getal m dat alle getallen
kleiner dan Fm+2 te schrijven is als som van verschillende
termen uit het rijtje F1, F2,
..., Fm.
Het is simpel na te gaan dat de bewering juist is voor m=1.
Stel dat we reeds hebben aangetoond dat de bewering juist is voor
m=1,2,3,...,n. Is er een recept dat ons hieruit de juistheid voor m=n+1 levert?
Ja, namelijk door in de representaties van de getallen
Fn tot en met Fn+2-1 op te tellen
Fn+1.
Dat levert de extra getallen Fn+2 tot en met
Fn+3-1. Dus worden nu alle getallen kleiner dan
Fn+3 gerepresenteerd met behulp van de termen
F1, F2, ..., Fn+1.
We kunnen nu op dezelfde manier uit de juistheid van de bewering voor
m=1,2,...,n+1 de juistheid voor m=1,2,...,n+2 aantonen enz.
